Da relação entre dimensão e base

Ainda na onda de descrever conceitos de Álgebra Linear de um jeito mais natural, quer dizer, sem base, trago uma questão muito séria aqui: por que definir dimensão como a cardinalidade das bases? Que coisa terrível estabelecer algo tão natural como dimensão sobre algo tão arbitrário como base! Aqui proponho duas alternativas. A primeira me foi sugerida por um amigo quando discutíamos esse assunto, mas eu prefiro a segunda, que não lembro de ter encontrado em lugar nenhum. As duas definições propostas são, obviamente, equivalentes à definição padrão e, portanto, as três se sustentam sobre os mesmo fatos, que também serão aqui demonstrados.

O principal ingrediente pra definir apropriadamente dimensão de um espaço vetorial é enxergar conjuntos linearmente independentes como conjuntos de direções independentes. Informalmente, queremos que a dimensão de um espaço vetorial expresse o número máximo de direções independentes no espaço.

Seja $V$ um $k$-espaço vetorial, sem qualquer restrição. Pra quem acredita no Axioma da Escolha, mais especificamente na sua manifestação como Lema de Zorn (espero que todo mundo), $V$ possui uma base, ou seja, existe um cardinal $\lambda$ e um conjunto l.i. $\{v_i: i\in \lambda\}\subset V$ que gera $V$. Então existe um isomorfismo $V\to \bigoplus_{i\in\lambda}k: v_i \mapsto e_i$, onde $\{e_i: i\in \lambda\}$ é a base canônica de $\bigoplus_{i\in\lambda}k$.

Invoquei o Lema de Zorn pra dar conta de espaços vetoriais quaisquer. No caso em que $V$ é finitamente gerado, não há necessidade de ir tão longe: dado um conjunto gerador finito l.d., é possível eliminar elementos de forma apropriada até obter um conjunto gerador l.i. – em outras palavras, uma base. Feito isso, temos um isomorfismo $V\simeq k^n$ pra algum $n\in \mathbb N$.

Pronto, agora podemos deixar base pra lá, só precisávamos mostrar que pra todo $V$ existe um cardinal $\lambda$ tal que $V\simeq \bigoplus_{i\in\lambda}k$.

Essa definição deixa mais ou menos clara a relação entre dimensão e o número de direções independentes ao expressar o espaço vetorial como uma soma direta de cópias do corpo, que nada mais é do que uma colagem de direções independentes. É óbvio que, nessa definição, dimensão coincide com a cardinalidade de uma base de $V$. Provaremos em breve que todas as bases tem mesma cardinalidade.

A segunda – e, na minha opinião, melhor – alternativa é mais direta:

Pra mostrar que a definição acima funciona, vamos provar que qualquer conjunto gerador $G\subset V$ satisfaz $|G|\ge |L|$ para qualquer conjunto l.i. $L\subset V$. Novamente, se $V$ é finitamente gerado, a coisa é um tanto simples e decorre de um resultado conhecido como Princípio de Substituição de Steinitz.

Uma vez que $G$ é gerador, é possível encontrar $a_1,...,a_n \in k$ tais que $v_1 = a_1\, w_1+...+a_n\, w_n$. Ao menos um coeficiente dessa soma é diferente de zero, afinal $L$ é l.i. e, portanto, $v_1\ne 0$. Sem perda de generalidade, vamos tomar $a_1\ne 0$. Disso segue que \begin{equation} w_1 = a_1^{-1}v_1-\sum\limits_{i=2}^n (a_1^{-1}a_i)\, w_i \ . \end{equation} Isso significa que podemos substituir $u_1 = w_1$ por $v_1$ de modo que $\{v_1,w_2,...,w_n\}$ é um conjunto gerador.

Agora, podemos escrever $v_2 = b_1\, v_1+b_2\, w_2+...+b_n\,w_n$. Da independência linear de $L$, devemos ter $v_2 \ne b_1\, v_1$, então $b_i\ne 0$ para algum $i\ge 2$. Assim como fizemos com $w_1$ e $v_1$, podemos substituir $u_2 = w_i$ por $v_2$ e obtemos novamente um conjunto gerador.

Repetindo esse processo reiteradamente, se $m\le n$, substituímos $m$ elementos de $G$ pelos elementos de $L$. Se $m> n$, então encontramos $n$ elementos de $L$ que geram $V$, incluindo os demais $n-m$ elementos de $L$, contrariando a hipótese inicial de que $L$ é l.i.

Pro caso em que $V$ não possui conjunto finito de geradores, precisamos apelar novamente pro Lema de Zorn, que nos garante que, dado $L\subset V$ l.i., existe uma base $B\subset V$ tal que $L\subset B$. Dessa forma, é suficiente provar que $|G|\ge |B|$. Também podemos e vamos assumir sem qualquer prejuízo que $0\not\in G$.

Cada $w \in G$ possui uma única decomposição da forma $w = a_1\,v_1+...+a_n\,v_n$ com $a_i \ne 0$ e $v_i \in B$ para todo $i=1,...,n$. Seja $D_w\subset B$ o conjunto finito de todos os vetores $v_i$ que aparecem na decomposição de $w$. Façamos, então, $D = \bigcup_{w\in G}D_w \subset B$. Note que $D$ é o subconjunto de $B$ composto por todos os vetores necessários para gerar $G$. Porque $G$ é infinito e cada $D_w$ é finito, vale $|D|\le |G|$ (aqui tem mais um pouco de Axioma da Escolha).

Suponhamos que $|G|<|B|$. Então $|D|<|B|$, o que implica que existe um vetor $v\in B\backslash D$. Por hipótese, $G$ gera $V$, então é possível escrever $v = a_1\, w_1+...+a_n\,w_n$ com $w_i \in G$ para todo $i=1,...,n$. Por outro lado, cada $w_i$ pode ser escrito com combinação linear de vetores de $D$. Ou seja, $v$ pode ser escrito como combinação linear de vetores de $B$, contrariando o fato de que tal conjunto é l.i. Assim, temos $|G|\ge |B|$, como desejado.

Feito tudo isso, temos que todo conjunto gerador tem cardinalidade maior ou igual que qualquer conjunto l.i. Como bases são conjuntos geradores e l.i., todas as bases têm a mesma cardinalidade, que é justamente o máximo de $\{|L|: L\subset V \ \mbox{\'e l.i.}\}$, ou seja, a dimensão do espaço. Aliás, de posse disso é possível provar o Princípio de Substituição de Steinitz pra espaços vetoriais quaisquer, o que fica de exercício para quem está lendo.

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