Εισαγωγή

Πολλοί δυσκολεύονται να το δεχτούν, διότι βλέπουν γραμμένες δύο διαφορετικές εκφράσεις. Ωστόσο, είναι ο ίδιος ακριβώς αριθμός, τον οποίο έχουμε αναπαραστήσει με δύο διαφορετικούς τρόπους.

Μια απόδειξη που θέλει επιπλέον αιτιολόγηση

Έστω . Τότε

Αφαιρώντας τις δύο εξισώσεις:

Η αυστηρή απόδειξη

Το είναι εξ ορισμού το όριο της ακολουθίας μερικών αθροισμάτων

Πρόκειται για γεωμετρική σειρά με λόγο , άρα

Γιατί η πρώτη απόδειξη δεν είναι αυστηρή

Η αφαίρεση και ο πολλαπλασιασμός δύο πραγματικών αριθμών είναι πάντα καλά ορισμένες ενέργειες. Ωστόσο, η έκφραση είναι απλά ένα σύμβολο το οποίο αντιπροσωπεύει έναν πραγματικό αριθμό και κρύβει μια οριακή διαδικασία από πίσω. Έτσι, πριν κάνουμε οποιαδήποτε ενέργεια – ορμώμενοι από τον τρόπο με τον οποίο αυτή γίνεται για αριθμούς με πεπερασμένου πλήθους δεκαδικά ψηφία – θα πρέπει πρώτα να την αποδείξουμε αυστηρά. Τι σημαίνει το ; πώς ακριβώς ορίζεται το ;

Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η συνεπαγωγή η οποία δεν προκύπτει από τον τετριμμένο κανόνα: πολλαπλασιασμός επί σημαίνει μετατοπίζω την υποδιαστολή μια θέση δεξιότερα – όπως νομίζει κανείς με μια πρώτη ανάγνωση. Αυτό που στην πραγματικότητα επικαλούμαστε είναι ότι ο πολλαπλασιασμός με σταθερά περνάει μέσα στο όριο: όπου όπως είπαμε παραπάνω εξ ορισμού.

Φυσικά, το ότι η σταθερά περνάει μέσα στο όριο είναι αληθές και αποδεικνύεται εύκολα, αλλά αποτελεί θεώρημα τού Απειροστικού Λογισμού και δεν προκύπτει αυτόματα από βασικές αλγεβρικές ιδιότητες αριθμών. Η μη αυστηρή απόδειξη που παρουσιάσαμε παραπάνω το χρησιμοποιεί σιωπηρά, χωρίς να το έχει εισαγάγει, ακριβώς επειδή αντιμετωπίζει το σαν συμβολοσειρά ψηφίων και όχι σαν αυτό που πραγματικά είναι: ένα όριο.

Γιατί ξενίζει

Ενστικτωδώς, ταυτίζουμε έναν αριθμό με την ακολουθία των ψηφίων του. Το έχει ψηφία , ενώ το έχει ψηφία — διαφορετικά σε κάθε θέση. Αν η ισότητα αριθμών οριζόταν ψηφίο-προς-ψηφίο, θα ήταν πράγματι διαφορετικοί. Το γεγονός ότι είναι ίσοι, ενώ οι ακολουθίες ψηφίων τους διαφέρουν παντού, δείχνει ότι η ισότητα πραγματικών αριθμών δεν ορίζεται μέσω των ψηφίων τους.

Συμπέρασμα

Η αναπαράσταση ενός πραγματικού αριθμού σε δεκαδική μορφή δεν είναι πάντα μοναδική, και αυτό είναι ένα από τα πιο απλά παραδείγματα αυτού του φαινομένου.