Εισαγωγή
Όταν αθροίζουμε πεπερασμένου πλήθους αριθμούς, προφανώς δεν αλλάζει το αποτέλεσμα αν τους αναδιατάξουμε (δηλαδή αν αλλάξουμε τη σειρά που εμφανίζονται οι προσθετέοι στο άθροισμα):
Ισχύει το ίδιο όταν αθροίζουμε άπειρους στο πλήθος αριθμούς;
Η απάντηση, γενικά, είναι όχι!
Στο άρθρο αυτό θα παρουσιάσουμε ένα άπειρο άθροισμα του οποίου το αποτέλεσμα είναι πραγματικός αριθμός, αλλά αν αλλάξουμε κατάλληλα τη σειρά των προσθετέων το αποτέλεσμα ισούται με (δηλαδή, μια συγκλίνουσα σειρά με αποκλίνουσα αναδιάταξη). Έπειτα, θα δούμε ότι για συγκεκριμένες σειρές όντως η σειρά των προσθετέων δεν παίζει ρόλο, για άλλες όμως, μπορείς να αναδιατάξεις τούς όρους ώστε το άθροισμα να ισούται με όποιον πραγματικό αριθμό θέλεις! Αν αυτό σου φαίνεται εντυπωσιακό, καλώς ήρθες στο club!
Το παράδειγμα
Θεωρούμε την εναλλάσσουσα σειρά
Εύκολα μπορεί κανείς να δείξει ότι η σειρά αυτή συγκλίνει και μάλιστα στο .
Αν κρατήσουμε τους θετικούς όρους τού αθροίσματος, προκύπτει η σειρά , η οποία προφανώς αποκλίνει. Βάσει αυτού, παρακάτω κατασκευάζουμε μια αποκλίνουσα αναδιάταξη τής εναλλάσσουσας σειράς:
Αφού , τότε αν αθροίσω κατάλληλους στο πλήθος όρους το άθροισμά τους θα είναι όσο μεγάλο θέλω. Ιδιαίτερα, υπάρχει δείκτης ώστε
Αφού το άθροισμα των πρώτων όρων είναι πεπερασμένο και το άθροισμα όλων των όρων ισούται με , τότε το άθροισμα από τον όρο υπ’ αριθμόν και μετά ισούται με . Έτσι, όπως πριν, υπάρχει δείκτης ώστε
Αφού το άθροισμα των πρώτων όρων είναι πεπερασμένο και το άθροισμα όλων των όρων ισούται με , τότε το άθροισμα από τον όρο υπ’ αριθμόν και μετά ισούται με . Έτσι, όπως πριν, υπάρχει δείκτης ώστε
Συνεχίζοντας επαγωγικά, παίρνουμε άπειρα στο πλήθος τέτοια μπλοκ αθροισμάτων: , κάθε ένα απ’ τα οποία είναι
Η επιθυμητή αποκλίνουσα αναδιάταξη είναι:
Η παραπάνω αναδιάταξη εξαντλεί όλους τούς όρους τής εναλλάσσουσας σειράς, διότι τα μπλόκ εξαντλούν τούς θετικούς όρους, ενώ οι αρνητικοί προσθετέοι μετά από κάθε μπλοκ εξαντλούν όλους τούς αρνητικούς όρους.
Η παραπάνω αναδιάταξη αποκλίνει, διότι για κάθε ισχύει
Τι ισχύει γενικά
Λέμε ότι η σειρά συγκλίνει απόλυτα, αν η σειρά συγκλίνει.
Αν μια σειρά συγκλίνει απόλυτα στο , τότε κάθε αναδιάταξή της συγκλίνει και μάλιστα στο ίδιο .
Θεώρημα Riemann. Αν μια σειρά συγκλίνει, αλλά δε συγκλίνει απόλυτα (συγκλίνει υπό συνθήκη), τότε όποιον πραγματικό αριθμό κι αν προεπιλέξει κανείς, υπάρχει αναδιάταξη τής αρχικής σειράς η οποία συγκλίνει στο .
Συμπέρασμα
Ο αλγόριθμος τής πρόσθεσης, όπως τον διδαχτήκαμε στο δημοτικό, εμπεριέχει πεπερασμένου πλήθους προσθετέους και σε ένα τέτοιο άθροισμα η διάταξη των προσθετέων δεν παίζει κανένα ρόλο (η λεγόμενη αντιμεταθετική ιδιότητα). Όταν όμως στο άθροισμα συμμετέχουν άπειροι στο πλήθος όροι, τότε χρειάζονται πιο λεπτοί χειρισμοί. Αν η σειρά συγκλίνει απόλυτα, τότε το άθροισμα είναι ανεξάρτητο οποιασδήποτε αναδιάταξής του. Η υπό συνθήκη σύγκλιση όμως, κρύβει μέσα της απεριόριστη θετική και αρνητική “πίστωση”, και αυτή η ισορροπία είναι εύθραυστη: αρκεί να αλλάξεις τη σειρά για να καταρρεύσει προς όποιον στόχο θες.