Εισαγωγή
Φαντάσου ότι παίζεις σε ένα τηλεπαιχνίδι. Υπάρχουν τρεις πόρτες: πίσω από τη μία κρύβεται ένα αυτοκίνητο, πίσω από τις άλλες δύο ένα κατσίκι. Διαλέγεις μία πόρτα, ας πούμε την Πόρτα 1. Ο παρουσιαστής, που ξέρει τι κρύβεται πίσω από κάθε πόρτα, ανοίγει μία από τις άλλες δύο πόρτες — πάντα μία που κρύβει κατσίκι. Στη συνέχεια σου προσφέρει την επιλογή: θέλεις να μείνεις στην Πόρτα 1, ή να αλλάξεις στην πόρτα που έχει απομείνει κλειστή;
Η πρώτη, σχεδόν καθολική, διαισθητική αντίδραση είναι: “Τώρα απομένουν δύο πόρτες, άρα η πιθανότητα είναι 50-50. Δεν έχει σημασία αν αλλάξω.”
Αυτή η διαίσθηση είναι λάθος. Η αλλαγή πόρτας διπλασιάζει την πιθανότητα να κερδίσεις: από 1/3 πάει σε 2/3. Στο άρθρο αυτό θα δούμε γιατί, με δύο διαφορετικούς τρόπους — έναν συνδυαστικό και έναν αυστηρά μπεϋζιανό — και θα το επιβεβαιώσουμε και πειραματικά με μια προσομοίωση σε Python.
Γιατί αποτυγχάνει η “50-50” διαίσθηση
Το λάθος κρύβεται στο πού πραγματικά βρίσκεται η συμμετρία. Πριν ανοίξει κάποια πόρτα, η αρχική μας επιλογή έχει πιθανότητα 1/3, ενώ οι άλλες δύο πόρτες μαζί έχουν 2/3. Το άνοιγμα μιας πόρτας από τον παρουσιαστή δεν αλλάζει αυτό το αρχικό μοίρασμα, απλώς μας δείχνει ποια από τις δύο “άλλες” πόρτες δεν έχει το αυτοκίνητο. Η συνολική πιθανότητα 2/3 της ομάδας αυτής δεν εξαφανίζεται· συγκεντρώνεται εξ ολοκλήρου στη μοναδική πόρτα που απέμεινε κλειστή.
Συνδυαστική ανάλυση
Ας ονομάσουμε την πόρτα που διάλεξες αρχικά Πόρτα Α, και ας συμβολίσουμε με C το ενδεχόμενο “το αυτοκίνητο είναι πίσω από την Πόρτα Α”.
Πριν ανοίξει καμία πόρτα, προφανώς
Η στρατηγική “μη αλλάζω” κερδίζει ακριβώς όταν το αρχικό μας μαντέψιμο ήταν σωστό, άρα με πιθανότητα .
Η στρατηγική “αλλάζω” κερδίζει ακριβώς όταν το αρχικό μας μαντέψιμο ήταν λάθος — γιατί αν το αυτοκίνητο δεν ήταν πίσω από την Πόρτα Α, τότε ήταν πίσω από μία από τις άλλες δύο. Ο παρουσιαστής αποκαλύπτει την πόρτα με το κατσίκι από αυτές τις δύο, και έτσι η μοναδική πόρτα που απομένει κλειστή (εκτός της Α) είναι αναγκαστικά η πόρτα με το αυτοκίνητο. Άρα η στρατηγική “αλλάζω” κερδίζει με πιθανότητα
Μπεϋζιανή ανάλυση
Ας το δούμε πιο αυστηρά, με τον κανόνα του Bayes.
Έστω ότι διαλέγουμε την Πόρτα 1, και ο παρουσιαστής ανοίγει την Πόρτα 3 (χωρίς αυτοκίνητο). Ορίζουμε τα ενδεχόμενα:
- : “το αυτοκίνητο είναι πίσω από την Πόρτα ”, για , με .
- : “ο παρουσιαστής ανοίγει την Πόρτα 3”.
Μας ενδιαφέρει η δεσμευμένη πιθανότητα έναντι της .
Χρειαζόμαστε την πιθανότητα για — δηλαδή, δεδομένου πού είναι το αυτοκίνητο, πόσο πιθανό είναι ο παρουσιαστής να ανοίξει την Πόρτα 3:
- Αν (το αυτοκίνητο είναι στην Πόρτα 1, αυτή που διαλέξαμε): ο παρουσιαστής μπορεί να ανοίξει είτε την Πόρτα 2 είτε την Πόρτα 3 (και οι δύο έχουν κατσίκι), οπότε υποθέτοντας ότι διαλέγει τυχαία μεταξύ τους: .
- Αν (το αυτοκίνητο είναι στην Πόρτα 2): ο παρουσιαστής δεν μπορεί να ανοίξει την Πόρτα 2 (θα αποκάλυπτε το αυτοκίνητο) ούτε την Πόρτα 1 (αυτή διαλέξαμε εμείς), άρα είναι αναγκασμένος να ανοίξει την Πόρτα 3: .
Εφαρμόζουμε τον κανόνα του Bayes:
Παρατηρούμε αμέσως ότι ο αριθμητής της δεύτερης είναι διπλάσιος από τον αριθμητή της πρώτης, άρα (χωρίς καν να υπολογίσουμε το ως κανονικοποιητή):
Κι αφού οι δύο πιθανότητες πρέπει να αθροίζουν σε 1 (το αυτοκίνητο είναι σίγουρα πίσω από μία εκ των δύο εναπομεινασών πορτών), παίρνουμε
επιβεβαιώνοντας το συνδυαστικό αποτέλεσμα.
Το κρίσιμο σημείο: ο παρουσιαστής έχει ελευθερία επιλογής μόνο όταν το αυτοκίνητο είναι ήδη στην πόρτα που διαλέξαμε (), ενώ είναι αναγκασμένος όταν δεν είναι (). Αυτή η ασυμμετρία σπάει την ψευδαίσθηση της συμμετρίας 50-50.
Πειραματική επιβεβαίωση
Πέρα από τη θεωρητική ανάλυση, μπορούμε να επιβεβαιώσουμε το αποτέλεσμα και εμπειρικά, με μια απλή προσομοίωση σε Python. Το μόνο που χρειάζεται είναι να μετρήσουμε πόσο συχνά η αρχική μας επιλογή είναι σωστή σε 1000 τυχαίες επαναλήψεις — αφού, όπως είδαμε, η αλλαγή πόρτας κερδίζει ακριβώς στις υπόλοιπες περιπτώσεις:
Ένα ενδεικτικό τρέξιμο έδωσε:
Χωρίς αλλαγή πόρτας: 318/1000 νίκες (31.8%)
Με αλλαγή πόρτας: 682/1000 νίκες (68.2%)
τιμές πολύ κοντά στο θεωρητικό 33.3%/66.7%, με τη φυσιολογική διακύμανση που περιμένουμε από πεπερασμένο αριθμό δειγμάτων.
Συμπέρασμα
Το παράδοξο του Monty Hall δεν είναι πραγματικό παράδοξο — δείχνει απλώς πόσο εύκολα η διαίσθησή μας αγνοεί τον ρόλο του μηχανισμού παραγωγής της πληροφορίας. Το ότι ο παρουσιαστής ξέρει πού είναι το αυτοκίνητο, και η επιλογή του εξαρτάται από αυτή τη γνώση, είναι που σπάει τη φαινομενική συμμετρία. Αν αντίθετα άνοιγε τυχαία μία πόρτα (με κίνδυνο να αποκαλύψει το αυτοκίνητο), η αλλαγή δεν θα είχε κανένα πλεονέκτημα — μια παραλλαγή για επόμενο άρθρο.
Περισσότερα: - Monty Hall problem στη Wikipedia - Η σκηνή από την ταινία “21”