Εισαγωγή

Όλοι λίγο πολύ γνωρίζουμε ότι η σειρά συγκλίνει. Με τι όμως ισούται το αποτέλεσμα αυτής τής άπειρης πρόσθεσης;

Θα δείξουμε ότι και φυσικά αυτό δε θα γίνει “με το χέρι”, αλλά χρησιμοποιώντας κάποια Αρμονική Ανάλυση και πιο συγκεκριμένα θεωρία σειρών Fourier.

Βασικά εργαλεία από σειρές Fourier

Θεωρούμε και την επεκτείνουμε, λαμβάνοντας κόπιες της, σε περιοδική συνάρτηση σ’ όλο το . Οι συντελεστές Fourier τής ορίζονται ως εξής και η σειρά Fourier της Για μια τέτοια ισχύει η ισότητα Parseval

Απόδειξη

Έστω και την επεκτείνουμε σε περιοδική σ’ όλο το . Προφανώς . Επιπλέον, διότι περιττή και για κάθε έχουμε Τώρα, από Parseval όπου και Συνδυάζοντας τις και το συμπέρασμα έπεται.