Définissons la fonction zêta d’un schéma sur comme suit:
Cela ressemble au cas des corps de nombres. On peut faire un changement de variable
Alors et . La fonction zêta est toujours une fonction rationnelle, i.e. (même si n’est pas lisse ni projectif, voir ici).
Pour exemple, si , on a
si l’on note le nombre de polynômes moniques irréductibles de degré . Remarquons que nous avons l’identité suivante :
On en déduit que
Le même calcul montre pour toute variété , on peut réécrire si l’on note . Remarquons n’est autre que le nombre de points de définis sur , i.e. . On l’appelle aussi la fonction zêta de Hasse–Weil de .
Pour une motivation plus complète des conjectures de Weil, voir cette note.