Voir Hartshorne, Algebraic Geometry, 1977, Appendice B.1 et B.2, pour une introduction aux espaces analytiques complexes et à l’analytification. Notons le foncteur d’analytification. Considérons les cinq questions suivantes :
Soit un espace analytique complexe, existe-t-il un schéma tel que ?
Si et sont deux schémas tels que , sont-ils nécessairement isomorphes ?
Soit un schéma et un faisceau analytique cohérent sur , existe-t-il un faisceau cohérent sur tel que ?
Si et sont deux faisceaux cohérents tels que , sont-ils nécessairement isomorphes ?
Soit un schéma et un faisceau cohérent. Les applications sont-elles nécessairement des isomorphismes ?
La réponse à ces questions est en général négative, mais elle est vraie dans le cas des variétés projectives. Ceci a été démontré par Serre dans son célèbre article GAGA (Voir ici pour un aperçu de cet article.) En particulier, Serre a obtenu une nouvelle démonstration du théorème de Chow :
Soit un sous-espace analytique compact de . Il existe un sous-schéma tel que .
Une autre question est : quand une variété complexe compacte est-elle projective algébrique ? En dimension 1, la réponse est toujours positive. Une première étape consiste à établir l’existence d’une fonction méromorphe non constante. C’est de l’analyse dure. La deuxième étape est souvent appelée le “théorème d’existence de Riemann”. Pour une référence à ce sujet, voir SGA I, Exp. XII. La partie difficile consiste à démontrer l’essentielle surjectivité. L’idée de Grothendieck est que l’on peut se ramener au cas régulier ; grâce à la résolution des singularités, on obtient une compactification régulière, puis on peut prolonger notre revêtement analytique étale fini à la compactification, sur laquelle on peut appliquer GAGA.
Il existe deux variétés algébriques non isomorphes dont les analytifications sont isomorphes. Voir ici pour le détail.