Supposons que soit une surface complexe lisse et projective. Il existe alors un accouplement donné par où designe la classe de Chern du faisceau inversible (qui est aussi égale à la duale de Poincaré de la classe fondamentale du diviseur de Weil correspondant. Voir ce site pour référence.)
On observe la première classe de Chern prend ses valeurs dans . Inversement, toute classe dans provient d’un faisceau inversible holomorphe. (Pour voir cela, considérons la suite exacte courte et la suite exacte longue qui en provient. On peut utiliser la décomposition de Hodge.)
Le théorème de l’indice de Hodge se déduit alors facilement de la géométrie de Kähler :
Soit une surface complexe projective, et soit la classe d’un faisceau inversible ample. Alors l’accouplement d’intersection est défini negatif sur .
Voir la section 6.3.2 du volume I de Voisin, Théorie de Hodge, pour référence. En corollaire, une faisceau inversible est numériquement équivalent à zéro si et seulement si . On en déduit que definit une inclusion naturelle où . En particulier, est un groupe abélien de type fini. C’est un cas particulier du théorème de la base.