La conjecture de Weil
- Soit un schéma de type fini sur . Il existe tels que
pour tout .- Soit une variété propre et lisse de dimension sur . On peut regrouper les termes de l’expression précédente selon leur valeur absolue, comme suit : où
les sont les nombres de Betti -adique, et ils satisfont la relation ;
les satisfont la relation après un certain réordonnancement ;
(l’hypothèse de Riemann pour les variétés sur les corps finis) pour tout , et toute valeur absolue archimédienne du corps ;
si est de plus géométriquement irréductible, alors et .
- Soit un schéma propre et lisse sur un sous-anneau de type finie du corps . Soit un idéal maximal de , alors est un corps fini, et la réduction est un schéma propre et lisse sur . Ainsi, pour , les dans (ii) sont égaux au rang de .
Dans le cas des courbes, l’énoncé (ii)(c) se réduit au théorème de l’indice de Hodge (Voir cet article de blog pour une discussion de ce théorème.) Essentiellement, ce théorème implique l’inégalité de Castelnuovo-Severi : si est le produit de deux courbes et un diviseur, alors où . (Notons la ressemblance avec’inégalité de Cauchy–Schwarz.) Notons la différence . En utilisant l’astuce de la puissance tensorielle, on obtient le corollaire suivant :
Soient deux diviseurs sur . Alors
On en déduit facilement la borne de Hasse-Weil en remplaçant où est le graphe du morphisme de Frobenius , qui dit que le nombre des points rationnels sur une courbe satisfait l’inégalité suivante : où est le genre de . Cela implique l’hypothèse de Riemann dans le cas des courbes grâce à la fonction zêta. Voir la section 4.2 de l’article pour les détails.
On peut utiliser (iii) pour détecter si un schéma admet un revêtement par une variété lisse et propre en caractéristique zéro (voir ici).
Références : Poonen, Rational points on varieties, chapitre 7 jusqu’à la section 7.5.1 ; Milne, The Riemann Hypothesis over Finite Fields: from Weil to the present day, pages 8–10.