Décompositions utiles en algèbre linéaire (CPGE)

This document is intended for students in the french CPGE system.

Ce document est déstiné aux élèves en classes préparatoires françaises.

Soit , notons . Alors est semblable à la matrice

où est la matrice égale à avec et les sont les blocs de Jordan.

À partir du théorème de trigonalisation par blocs, il suffit de montrer que toute matrice nilpotente est semblable à une matrice diagonale par blocs de Jordan.

Procédons par récurrence sur la taille de la matrice nilpotente. Le résultat est clair dans . Soit , supposons le résultat établi pour tout .

Soit une matrice nilpotente, notons son indice de nilpotence et l’endomorphisme de canoniquement associé. Il existe tel que (sinon cela contredit la minimalité de ). La famille est libre (sinon considérer une combinaison linéaire nulle et itérer ), notons .

Considérons maintenant une forme linéaire telle que si et et posons de telle sorte que est l’intersection de hyperplans donc .

Montrons que est stable par : Soit , soit , alors donc et donc .

Montrons maintenant que . Soit , si alors il existe un polynôme unitaire de degré tel que , mais alors donc et sont en somme directe. Et comme , on a que et sont deux supplémentaires stables par .

Donc . Puis est nilpotente et, par hypothèse de récurrence, en considérant une base de dans laquelle respecte la condition de l’énoncé, on trouve que respecte la condition de l’énoncé, cela conclut.

Soit , il existe une suite de polynômes de tel que soit le polynôme minimal de et et est semblable à

Procédons par récurrence sur , soit une matrice de .

Notons et considérons l’endomorphisme canoniquement associé. Notons la décomposition du polynôme minimal de (et de ) en irréductibles.

Définissons, pour , le polynôme minimal ponctuel de pour , (polynôme unitaire non-nul de degré minimal annulant ).

Pour chaque , il existe tel que .

Soit .D’abord, si aucun élément de est annulé par alors il suffit de considérons le polynôme qui annule donc , ce qui contredit la minimalité de .

Ainsi, pour , divise nécessairement et s’écrit donc pour . Supposons par l’absurde que pour tout , . Alors et donc annule , de nouveau une contradiction.

Il existe tel que .

Prenons, pour chaque , tel que . Posons et notons (avec ). Pour chaque , posons de telle sorte que . Et donc divise donc d’où .

Prenons maintenant tel que et posons , de la sorte, la famille est libre et en notant , est stable par et vaut .

Comme pour la décomposition de Jordan, prenons une forme linéaire telle que si et . Et on montre alors que est stable par , de dimension au moins et que , donc en utilisant l’hypothèse de récurrence on conclut. De plus divise car .

Soit un endomorphisme à polynôme caractéristique scindé. Alors il existe diagonalisable et nilpotente telle que et .

Notons , le théorème de trigonalisation par blocs montre que est semblable à une matrice triangulaire par blocs de taille avec sur la diagonale. On peut noter chacun de ces blocs où est triangulaire supérieure stricte. En notant la matrice par blocs des et la matrice par blocs des .

Soit , il existe et à coefficients diagonaux positifs tels que .

Supposons d’abord que les colonnes de et l’orthonormalisé au sens de Gram-Schmidt de la base canonique.

Alors .

En notant ces deux matrices et respectivement, on en déduit le résultat voulu.

Soit , il existe triangulaire supérieure à coeffiecients diagonaux strictement positifs telle que .

Par le lemme de la racine carré, il existe telle que . Notons sa décomposition QR de telle sorte que , cela conclut.

Notons la base canonique de , définissons le produit scalaire sur , . Alors .

Soit l’orthonormalisé au sens de Gram-Schmidt de la base canonique pour . Notons de telle sorte que soit triangulaire supérieure à coefficients strictements positifs. Et . Et donc en posant on a fini.

Soit , il existe un unique couple satisfaisant .

Démontrons la deuxième partie du résultat, soit . et admet donc une racine carrée . Posons alors de la sorte que et alors est orthogonale et satisfait . L’unicité découle du fait que si alors mais est unique par le lemme de la racine carrée et donc l’est aussi.