Shoshichi Kobayashi y Katsumi Nomizu presentan una definición de variedad diferencial en su libro la cual no hacen referencia alguna al Segundo Axioma de Numerabilidad (N2). Estrictamente presentan una variedad diferencial como un espacio de Hausdorff sumado de un atlas fijo que es compatible con un Pseudogrupo de transformaciones de clase .
A lo largo de múltiples lecturas hemos visto como autores distintos piden el requisito de que el espacio topológico donde se desarrolla todo deba ser N2. Debido a estas extrañas inconsistencias en la definición, hemos discutido múltiples veces si los homeomorfismos pueden inducir N2 en la variedad.
Se presenta la siguiente pregunta
Una de las ideas para testear si esto tiene sentido es definir el siguiente conjunto
debe aclararse que es la topología de la variedad y el Atlas fijado en ella. Así el conjunto no es otra cosa que la colección de todos los dominios abiertos de los homeomorfismos en .
En primer lugar gracias a los homeos existe una noción de “copiar” la topología de en . En segundo lugar el conjunto se compone de abiertos. Si bien la familia no necesariamente cierra ante uniones arbitrarias o intersecciones finitas, existe una posibilidad de que sea base de una topología en . Ademas, existen dos condiciones relevantes que nos interesan
Pasemos a hacer unos cálculos que nos llaman la atención.
Partimos de la siguiente proposición, la cual resulta siempre verdadera
debido a los homeos esto implica que
Construimos entonces a V como la unión numerable de una base de , sea esta . Luego esto permite escribir
con . Este resultado permite pensar a un elemento de construido a partir de uniones numerables de los abiertos , lo cual es un indicio de que al menos cada dominio es unión numerable de ciertos abiertos.
Para cerrar con esta discusión deberíamos verificar si el conjunto es base para tal topología y/o si se puede construir una base numerable para la topología o usando preimagenes de la base en , la cual sabemos que es numerable. Si ocurre tal cosa entonces podríamos concluir que la topología generada por el set es N2. Como N2 es hereditaria, y en existe al menos una topología de clase N2, esta propiedad nos podría ayudar a concluir que la variedad es N2. Dando por finalizado los aparentes convenios en definir las variedades diferenciables de cierta forma, y demostrando que Hausdorff + Atlas + compatibilidad otorgan una estructura N2.