六、链条件

目前为止, 我们都没有对所讨论的环作含幺交换以外的限制, 然而为了获得一些更深刻的结果, 我们必须对环施加一些有限性条件, 例如本节阐述的链条件.

链条件一般来说既适用于环, 也适用于模. 我们将首先阐述模的情况, 值得注意的是, 这里相当一部分证明都是形式上的, 可以从中观察到升链和降链间的对应. 但这种对应在环的情况下会消失, 我们会在之后的章节看到这一点.

为带偏序 的集.

若令 的子模的集合, 含入关系 作为其上偏序, 则 i. 通常被称为升链条件, 简称a.c.c.; 而 ii. 通常被称为极大条件. 若 满足此两条等价条件其一, 则称为 Noetherian 的. 反之, 若包含关系 为其上偏序, 则 i. 被称为降链条件(d.c.c.), ii. 被称为 极小条件. 此时满足 i. 或 ii. 的模 称为 Artinian 的.

Prop.2 使得 Noetherian 模要比 Artinian 模重要一些: 模的 Noetherian 性恰好是许多重要定理的前件, 使其带有一些重要性质. 但一些基本的形式性质能够同时在 Artinian 和 Noetherian 模上成立.

称 Noetherian(resp. Artinian) 当它是一个 Noetherian(resp. Artinian) -模, 即于理想上满足a.c.c. (resp. d.c.c.).

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