目前为止, 我们都没有对所讨论的环作含幺交换以外的限制, 然而为了获得一些更深刻的结果, 我们必须对环施加一些有限性条件, 例如本节阐述的链条件.
链条件一般来说既适用于环, 也适用于模. 我们将首先阐述模的情况, 值得注意的是, 这里相当一部分证明都是形式上的, 可以从中观察到升链和降链间的对应. 但这种对应在环的情况下会消失, 我们会在之后的章节看到这一点.
令 为带偏序 的集.
Proposition 1 以下命题是等价的:
- 任意升链 : 必将在某处终止, 即存在 使得 ;
- 的任意非空子集都有极大元.
若令 是 的子模的集合, 含入关系 作为其上偏序, 则 i. 通常被称为升链条件, 简称a.c.c.; 而 ii. 通常被称为极大条件. 若 满足此两条等价条件其一, 则称为 Noetherian 的. 反之, 若包含关系 为其上偏序, 则 i. 被称为降链条件(d.c.c.), ii. 被称为 极小条件. 此时满足 i. 或 ii. 的模 称为 Artinian 的.
- 有限阿贝尔群作为 -模满足a.c.c.和d.c.c.
- 本身作为 -模只满足a.c.c. , 这是因为对任意 有升链 .
- 取任一素数 , 令 为 的那些阶为 的幂次的元素组成的子群, 则 对每个 有且仅有一个阶为 的子群 , 且这些子群组成升链, 故 不满足a.c.c. . 但 满足 d.c.c. , 因为 只有 这些子群.
- 所有形式为 的有理数组成一个子群 , 它既不满足a.c.c.也不满足d.c.c. . 这是因为存在正合列 , 于是 不满足d.c.c. 不满足d.c.c. , 不满足a.c.c. 不满足a.c.c.
- 多项式环 (是域) 的理想集满足a.c.c.但不满足d.c.c. .
- 无穷多个变元的多项式环既不满足a.c.c.也不满足d.c.c. :可构造严格升链 及严格降链 .
- 我们会在之后证明, 理想集满足d.c.c.的环一定也在理想上满足a.c.c. .这对模来说一般不成立.
Proposition 2 是一个Noetherian -模 的任意子模都是有限生成的.
Prop.2 使得 Noetherian 模要比 Artinian 模重要一些: 模的 Noetherian 性恰好是许多重要定理的前件, 使其带有一些重要性质. 但一些基本的形式性质能够同时在 Artinian 和 Noetherian 模上成立.
Proposition 3 若有-模的正合列 则
- Noetherian 和 均 Noetherian;
- Artinian 和 均 Artinian.
Corollary 4 若 均为 Noetherian -模, 则 作为 -模也 Noetherian.
环 称 Noetherian(resp. Artinian) 当它是一个 Noetherian(resp. Artinian) -模, 即于理想上满足a.c.c. (resp. d.c.c.).
- 任何域既 Artinian 又 Noetherian, 环 亦如此. 但 仅为 Noetherian.
- PID 都 Noetherian.
- 环 并不 Noetherian, 但它是一个整环, 故可以构造它的分式域. 于是我们注意到 Noetherian 环的子环不一定 Noetherian.
- 令 为紧无限 Hausdorff 空间, 为其上的实值连续函数环. 任取一 中的严格递降闭集链 , 再令 , 则 组成 中理想的严格降链, 于是 不是 Noetherian.