计算科学与工程 学习笔记 Au=b

这里是MIT 18.085 computational science and engineering的学习笔记

LEC 3 介绍了解方程中的unknowns的三种方法：

1. Matlab中的backlash

2. 针对sparse matrix, reorder rows, and do elimination. 变成对角阵或者三角阵之后，就变得简单了。

3. 针对大规模的对称矩阵，使用conjugate gradient方法，也称作multigrid（多重网格），incomplete LU。 不了解

下面重点讲Matlab中的backlash算力： 实际问题中，经常会遇到需要解，，甚至更多的情况，例如设计问题中，尝试给不同的设计参数后的系统响应如何？

• 如果使用消元法，意味着每一个方程都需要做一遍消元，效率太低了

• 如果使用的方法，会有以下问题

  1. 不容易获得，例如当A的size是矩形的时候

  2. 可能A本身是稀疏矩阵或者对角阵，A的逆矩阵却是dense

  3. A的逆矩阵是dense的时候，的乘法操作takes long

• Matlab的实现方式是： 将右侧的看作是系统的输入/激励，未知量看作是系统的响应。由于A矩阵是constant，意味着系统是线性时不变的。假设我们可以获得每个独立impulse输入对应的响应，当输入是多个impulse的线性组合，那么也是每个独立impulse产生的响应的线性组合。 假设是一个3x3矩阵，对应有3个独立的impulses，分别是，，，它们对应的系统响应为、、. 由于，和组成的block matrix 是单位矩阵，那么、、组成的block matrix 应当是. 如何获得？对block matrix [A, I]做消元，当A矩阵消元变成I的时候，对应地，右侧由I变成。