Ley的复分析笔记-0

本节介绍最大模原理(MMP)和它的一些应用. ## 1. 最大模原理 这一段将给出最大模定理的不同版本及其推广. ### 1.1. Return to basis. > 定理1 (1st-Version) 设$G$是一个连通区域，$f\in H(G)$，若$|f|$在$a\in G$取最大值, 则$f$是常函数.

证明: 我们可以用解析函数的均值定理(Cauchy积分公式的推论) $$ f(a)=\frac1{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(a+re^{i\theta})\mathrm d\theta $$ 看出, 在$a$点的某个邻域内 $$|f(z)|=|f(a)|$$ 由C-R方程 (或直接由Mobius变换的性质) 可得到$f$在$a$的某个邻域取常值. 又根据解析函数零点的特点, $f$必定在连通区域$G$内取常值.

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注意上面的定理需要$G$ 的连通性. 没有这个条件，我们常常会需要在各个连通分支上运用定理1. 如果考虑的是在$G$的闭包上连续的函数，定理1的另一个表述为:

定理2: (2nd-Version) 设$G$ 是一个有界开集，$f\in H(G)\cap C(\bar G)$, 则$f$一定可以在边界取最大模，即 $$\max_{\bar G}|f|=\max_{\partial G}|f|$$

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在$G$连通时，有 $$\forall z\in G,|f(z)|\leq \max_{\partial G}|f|$$ 且如果取等，那么$f$是常函数.

注意如果没有连通性，即使$f$不是常函数，也完全可以在$G$内部取到极值.

1.2. 一些推广

现在我们考虑，能否丢掉有界这个条件，使得$|f|$仍然可以在边界取最大值呢? 自然是不能的，毕竟，当$\bar G$无界时，我们还不能确定最大值的存在性. 但是，我们可以把$\max$ 改成 $\sup$, 在推广的实数系$\overline{\mathbb R}$上取值，从而得到$$\sup_{\bar G}|f|=\sup_{\partial G}|f|$$ 吗? 答案是否定的. 考虑 $$f(z)=\exp\{\exp z\}, G=\mathbb R\times(-\pi/2,\pi/2)$$ $|f|$在边界上取$1$， 但在实轴上的值可以接近$+\infty$. 问题的其中一个关键在于，拓扑中的最值原理: >引理1: $X$是紧的拓扑空间，$Y$是带序拓扑的空间， $f:X\to Y$是连续函数，则一定可以取到最值.

要求定义域的紧性，而$\mathbb C$ 不是紧的，我们考虑其one-point compactness: $\mathbb C_{\infty}$. 这时，$|f|$的最值自然可以在$\overline{G}_{\infty}$上取到. 于是，和定理2相似的结论便是 >定理2*: 设$G\subset\mathbb C{}$ 是开集, $f\in H(G)\cap C(\bar G)$且 $\lim_{z\to \infty} |f|$存在, 则$$\max_{\bar G_{\infty}}|f|=\max_{\partial_{\infty}G}|f|$$

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为了便于叙述，我们先引入半连续性的概念: >定义： 设$X$是一个拓扑空间，称$f:X\to\overline{\mathbb R}$上半连续的是指:$\forall c\in\mathbb R$, $\{f<c\}$ 是闭集.

在$X$是第一可数空间(在一般空间中需要用net来定义)时，它等价于 >$\forall x_0\in X,\limsup_{x\to x_0} f(x)\leq f(x_0)$

对于半连续函数，我们有最值原理: >引理2: 若$X$是紧空间，则$X$上的上半连续函数有最大值, 且最值点也是紧的.

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现在回到最大模原理，考虑更一般的情况：$f$ 可能做不到在边界上连续, 这时$f$ 模的最值情况如何呢? 一个自然的想法是考虑函数 $$\limsup|f|：\overline{G}_{\infty}\to \overline{\mathbb R}, z\mapsto\limsup_{w\to z}|f(w)|$$ 这个函数是半连续的, 也满足最值定理. 而且 $$\limsup|f|\big|_G=|f|$$ 有了这些，便可以给出 >定理 3(3rd-Version) : $G\subset \mathbb C$是开集, 则$\limsup|f|$一定在边界$\partial_{\infty} G$上取得到最值, 从而$$\forall z\in G, f(z)\leq \sup_{z\in\partial_{\infty}G}(\limsup |f|)(z)$$

证明： 设$\limsup |f|$在$a$取最大值. 那么$a\in \partial_{\infty}G$, Done.

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定理3实际上蕴含了定理2*.

回顾定理2和定理3，,在$f$或$\limsup f$在边界上无界的时候，实际上是没有意义的. 我们所做的工作，本质是通过用函数在边界的模控制函数在$G$内的模.

1.3. Phragmen-Lindelof 定理

在这一段最后，我们介绍这个114年前由 E.Lindelof 和 E.Phragmen 给出的结果. 我们延续之前的做法，控制函数在边界上的行为，但这次仅仅对$|f|$的”增长” 进行限制，而不是要求他们有界，同样可以得到$f$有界的结果. 当然，这还需要对$G$的拓扑性质有一些限制:

设$G$是一个连通开集，且满足: $\forall z\in \partial_{\infty} G, \exists B_{\infty}(z;\rho)\cap G$是单连通区域.

例如，任何单连通区域， $\mathbb C$中的圆环都满足上述条件.

定理4(Phragmen-Lindelof)： $f\in H(G), \phi:G\to\mathbb C\in H(G)$没有零点且有界. $\partial_{\infty}=A\cup B$有以下两种点组成:
(1) $a\in A: (\limsup |f|)(a)\leq M$;
(2) $b\in B: \forall \eta>0, (\limsup |f||\phi|^{\eta})(b)\leq M $ .
则$\forall z\in G, f(z)\leq M$.

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利用定理4，我们给出一个第三段用到的推论: >推论1： 设$G$是一个单连通区域, $f\in H(G)\cap C(\bar G)$, 且$\sup_{G}|f|=L<\infty$. 则$$ \forall z\in G,|f(z)|\leq\sup_{\partial G}|f|$$

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推论1对一般的区域$G$也是成立的(见本节附录).

2. Schwartz 引理

2.1. Schwatz

最大模定理一个重要的推论是: >定理5(Schwartz)： $f:\mathbb D\to \overline{\mathbb D}\in H(\mathbb D)$, $f(0)=0$, 则 $f'(0)\leq 1, |f(z)|\leq |z|$， 且任何一个等号成立，则存在实数$\theta$, $f(z)=e^{i\theta}z$.

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2.2. 一类Mobius变换

Schwartz定理一个直接的应用是，从$\mathbb D$的到自身的共形映射由在0处的值唯一确定了. 为了说明这件事，我们先来回顾一类特殊的Mobius变换. 设$a\in\mathbb D$: $$\phi_a(z)=\frac{z-a}{1-\bar az}$$ 在$\overline{\mathbb D}$内它是良定义的, 注意它的边界值 $$|\phi_a(e^{i\theta})|=\frac{|e^{i\theta}-a|}{|1-\bar ae^{i\theta}|}=1$$

再次运用一下极大模原理便知，$\phi_a:\mathbb D\to\mathbb D$, 且把边界映到边界. 并注意 $$\phi_a\circ\phi_{-a}=1=\phi_{-a}\circ\phi_a$$ 这个映射还是双射. 通过直接计算: $$\begin{align*}&\phi_a(0)=-a; \phi_a(a)=0; \\&\phi_a'{0}=1-|a|^2; \phi_a'(a)=(1-|a|^2)^{-1} \tag{2.3.1}\end{align*}$$

2.3. 单位圆盘上的共形映射.

现在我们考虑函数 $$f:\mathbb D\to\mathbb D, f(a)=\alpha$$ 令 $$g=\phi_{\alpha}\circ f\circ\phi_{-a}$$ 则$g(0)=0$. 由Schwatz引理， $$\begin{align*}|g'(0)|=&|\phi_{\alpha}'(\alpha)f'(a)\phi_{-a}'(0)|\\=&\frac{1-|a|^2}{1-|\alpha|^2}|f(a)'|\\ \leq& 1\end{align*}$$ 即 $$|f'(a)|\leq \frac{1-|\alpha|^2}{1-|a|^2}\tag{2.3.1}$$ 且如果上式取等， $$f=\phi_{-\alpha}\circ (e^{i\theta}\phi_{a})\tag{2.3.2}$$ 现在可以看到，如果$f$是双射，那么由反函数求导的定理(这时$f^{-1}$一定解析): $$(f^{-1})'(a)=\frac1{f'(a)}\leq \frac{1-|a|^2}{1-|\alpha|^2}\tag{2.3.3}$$ 于是(2.3.2)一定成立. 特别的, $\alpha=0$ 时:

定理5： 若$f:\mathbb D\to\mathbb D$, $f(a)=0$, 当且仅当 $f=e^{i\theta}\phi_{a}$.

3. 对数凸函数

3.1 对数凸(Logarithmically convex)

顾名思义，$f$对数凸是指$\log f$凸. >定理6： 设$G=(a,b)\times \mathbb R$, $f\in C(\bar G)\cap H(G)$不是常函数. $|f|<L$ in $G$. 令$$M:[a,b]\to \mathbb R,x\mapsto \sup_{ y\in\mathbb R}|f(x+iy)|$$则$M$是对数凸函数.

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3.2 Hadamard’s Three Circles Theorem

定理7：$f\in H(\{0<R_1<|z|<R_2\})$ 不恒为0. 令$$M:(R_1,R_2)\to \mathbb R; r\mapsto \max_{[0,2\pi)}|f(re^{i\theta})|$$则$\log M(r)$ 是关于$\log r$的凸函数.

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4. 附录

4.1. 推论1的另一证明

推论1可不限制$G$. 我们给出另一种证明:

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4.2. 推广的 Louville 定理

定理8: 若$f$是整函数，$|f|\leq 1+\sqrt{|z|}$, 则$f$是常数. 证明: 由Cauchy估计: $$|f^{(n)}|\leq \frac{n!M(R)}{R^n}\Rightarrow |f'|\leq \frac{1+\sqrt{|R|}}{R}\Rightarrow |f'|=0$$ .

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定理8和Louville定理的关系类似于Phragmen-Lindelof定理和最大模原理的关系.

顺便的，运用MMP，我们还可以得到: >定理9： $f$是整函数，且不是常数，那么存在趋于$\infty$的曲线$$\gamma:[0,\infty)\to \mathbb C,\lim_{\infty}|\gamma(t)|=\infty$$使得$\lim_{\infty}f(\gamma(t))=\infty$

思路是寻找点列$z_n\to\infty$, 使得$f(z_n)\to\infty$, 用线段连接$z_n$, 并用MMP控制中间线段上的模.

证明: 考虑开集$T_1=\{|f|>1\}, T_n=H_{n-1}\cap\{|f|>n\}$,$H_n$是$T_n$的一个连通分支. 则容易用MMP证明:
a. $|f|=1$ on $\partial H$ .
b. $f$在$H_n$ 上无界 .

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4.3. Lindelof定理的其他推广

定理10： 把定理4中的$\phi,A\cup B$, 改为$\phi_n, A\cup B_n$. 仍成立$|f|\leq M$.

4.4. 最大模原理的逆定理

定理11( Rado )： 设向量空间$\mathcal F\subset C(\bar{\mathbb D},\mathbb C)$满足
(1)$1\subset V$,
(2) $f\in V\Rightarrow zf\in V$,
(3)$\sup_{\mathbb D}|f|=\sup_{\partial \mathbb D}|f|$ .
则$V\subset H(\mathbb D)$.

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这个定理告诉我们，最大模原理可以用来刻画解析函数.