Algèbre linéaire : Parlons de matrice d’expression, au lieu de matrice de passage

Motivation

Le but de cet article est d’introduire des notations et une nomenclature plus explicites, notamment pour la manipulations des matrices de passage d’une base à une autre dans un espace vectoriel.

Un piège avec la formule usuelle est qu’elle n’encode pas assez de contexte. Par exemple, est-elle la matrice de passage de la base dans ou l’inverse?

Le cœur du problème est la notion de matrice de passage de à .
Vu le nom, on s’attendrait à ce que la matrice convertisse une colonne exprimée dans en une colonne exprimée dans sous la forme suivante : Alors que la formule correcte, avec la définition usuelle de la matrice de passage est l’inverse.

Notations

Soient

  • un -espace vectoriel de dimension finie
  • un vecteur de
  • un endomorphisme linéaire de
  • , et trois bases de

On note:

  • la matrice colonne des coordonnées de dans
  • la matrice carrée représentative de dans
  • la matrice carrée d’expression de la base dans

Reformulation

Avec les notations ci-dessus, les formules classiques deviennent:

La formule est le pendant explicite de

Avantages

Ces reformulations ont deux mérites majeurs.

  • Le premier est de garder explicitement le lien entre une matrice et l’objet qu’elle repésente. Il est facile de perdre de vue ce lien en faisant du calcul matriciel pur; ces notations le restorent.
  • La formule de changement de base est bien plus facile à retenir sous cette forme car elle repose sur une gymnastique similaire à la manipulations des fractions et des rationnels, et se prêtent à des simplifications proches, en tenant compte de la non commutativité du produit matriciel.

Comments

Joli ! J’essaierai cette écriture dans les mois à venir. Moi aussi, un jour confronté à ce problème, avais pensé à la notation “à crochets”. Elle a moins de mérite que la tienne, mais je l’avais trouvé pas mal ! Mettre des crochets autour d’un endomorphisme exprime la matrice associée; on met la base de départ en indice à droite des crochets, et la base d’arrivée en indice à gauche.

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