Motivation
Le but de cet article est d’introduire des notations et une nomenclature plus explicites, notamment pour la manipulations des matrices de passage d’une base à une autre dans un espace vectoriel.
Un piège avec la formule usuelle est qu’elle n’encode pas assez de contexte. Par exemple, est-elle la matrice de passage de la base dans ou l’inverse?
Le cœur du problème est la notion de matrice
de passage de
à
.
Vu le nom, on s’attendrait à ce que la matrice convertisse une colonne
exprimée dans
en une colonne exprimée dans
sous la forme suivante :
Alors que la formule correcte, avec la définition
usuelle de la matrice de passage est l’inverse.
Notations
Soient
- un -espace vectoriel de dimension finie
- un vecteur de
- un endomorphisme linéaire de
- , et trois bases de
On note:
- la matrice colonne des coordonnées de dans
- la matrice carrée représentative de dans
- la matrice carrée d’expression de la base dans
Reformulation
Avec les notations ci-dessus, les formules classiques deviennent:
La formule est le pendant explicite de
Avantages
Ces reformulations ont deux mérites majeurs.
- Le premier est de garder explicitement le lien entre une matrice et l’objet qu’elle repésente. Il est facile de perdre de vue ce lien en faisant du calcul matriciel pur; ces notations le restorent.
- La formule de changement de base est bien plus facile à retenir sous cette forme car elle repose sur une gymnastique similaire à la manipulations des fractions et des rationnels, et se prêtent à des simplifications proches, en tenant compte de la non commutativité du produit matriciel.
Comments
Joli ! J’essaierai cette écriture dans les mois à venir. Moi aussi, un jour confronté à ce problème, avais pensé à la notation “à crochets”. Elle a moins de mérite que la tienne, mais je l’avais trouvé pas mal ! Mettre des crochets autour d’un endomorphisme exprime la matrice associée; on met la base de départ en indice à droite des crochets, et la base d’arrivée en indice à gauche.